安德森加速

安德森加速法（也称为拟牛顿逆向最小二乘法）是强耦合 FSI 应用的求解稳定方法。此方法可以加速收敛并提高求解的稳定性。

安德森加速法用于针对流体边界与位移的函数求解固定点问题。固定点问题求解可由以下公式给出：
图 1. EQUATION_DISPLAY
g ( x ) = x
(4634)
其中 g 是一个定点运算符，表示执行与流体和固体子域关联的求解器。
Eqn. (4634) 可以写为：
图 2. EQUATION_DISPLAY
f ( x ) = g ( x ) − x ⁢ = 0
(4635)
使用一阶泰勒展开，Eqn. (4635) 可以编写为：
f ⁢ ( x ⁢ + Δ x ) ≈ f ⁢ ( x ) + J ( x ⁢ ) Δ ⁢ x  
(4636)
其中， J ⁢ ( x ) 为雅可比。雅可比是 f ( x ⁢ ) 函数的导数的平方矩阵。每个牛顿迭代 k 处的牛顿步 Δ ⁢ x k 由以下公式确定：
Δ x k = − J ( x k ) − 1 ⁢ f ( x k )
(4637)
x k + 1 = x k + Δ x k
(4638)

雅可比不可直接用于分区耦合 FSI。因此，在准牛顿方法中，雅克比 J k ⁢ =   J ( x k ) 使用增量历史进行近似计算：

图 3. EQUATION_DISPLAY
X k = [ Δ x k − m ⁢   , ... ⁢   , Δ x k − 1 ] ∈ ℜ n × m
(4639)
图 4. EQUATION_DISPLAY
F k = [ Δ f k − m ⁢   , ... ⁢   , Δ f k − 1 ] ∈ ℜ n × m
(4640)

其中， X k 包含固定点位移的增量， F k 包含固定点残差的增量。 m 对应增量数， n 为润湿交界面的未知量数。

受多割线条件限制：
J k − 1 F k ⁢ = X k
(4641)
安德森加速通过对以下公式求极小值约值逆雅可比 J k − 1 ：
‖ J k − 1 − J k − m − 1 ‖ F
(4642)
其中 J k − m − 1 = − I